插补计算：
    是对数控系统输入基本数据 ( 如直线的起点、终点坐标，圆弧的起点、终点、圆心坐标等 ) ，运用一定的算法计算，根据计算结果向相应的坐标发出进给指令。对应着每一进绐指令，机床在相应的坐标方向上移动一定的距离，从而将工件加工出所需的轮廓形状。
    实现这一插补运算的装置，称为插补器。控制刀具或工件的运动轨迹是数控机床轮廓控制的核心，无论是硬件数控 (NC) 系统，还是计算机数控 (CNC) 系统，都有插补装置。在 CNC 中，以软件 ( 即程序 ) 插补或者以硬件和软件联合实现插补；而在 Nc 中，则完全由硬件实现插补。

   数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法及最小偏差法等，本章主要介绍前两种插补方法。

   逐点比较法：就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，其的偏差不超过一个最小设定单位。下面分别介绍逐点比较法直线插补和圆弧插补的原理。

一、逐点比较法直线插补

   如图 3 — l 所示设直线 oA 为象限的直线，起点为坐标原点。 o(0 ， 0) ，终点坐标为， A( ) ，， P( ) 为加工点。

若 P 点正好处在直线 oA 上，由相似三角形关系则有

即

点在直线 oA 上方 ( 严格为直线 oA 与 y 轴正向所包围的区域 ) ，则有

即

   若 P 点在直线 oA 下方 ( 严格为直线 oA 与 x 轴正向所包围的区域 ) ，则有 图 3 — 1 逐点比较法象限直线插补

即

令 (3-1)

则有：

①如 ，则点 P 在直线 oA 上，既可向 +x 方向进给一步，也可向 +y 方向进给一步；

②如 ，则点 P 在直线 oA 上方，应向 +x 方向进给一步，以逼近oA直线；

③如 ，则点 P 在直线 oA 下方，应向 +y 方向进给一步 ，以逼近 oA直线一般将 及 视为一类情况，即 时，都向 +x 方向进给一步。

  当两方向所走的步数与终点坐标相等时，停止插补。这即逐点比较法直线插补的原理。

   对象限直线 oA 从起点 ( 即坐标原点 ) 出发，当 F 0 时， +x 向走一步；当 F<0 时，y 向走一步。
   特点：每一步都需计算偏差，这样的计算比较麻烦。

      递推的方法计算偏差：
   每走一步后新的加工点的偏差用前一点的加工偏差递推出来。
   采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而开始加工点正是直线的起点，故 。下面推导其递推公式。

   设在加工点 P( ) 处， ，则应沿 +x 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为

新加工点的偏差为

即

若在加工点 P( ) 处， ，则应沿 +y 方向进给一步，此时新加工点的坐标值为

新加工点的偏差为

即

综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤 ( 节拍 ) ，即：

(1) 位置判别 根据偏差值 大于零、等于零、小于零确定当前加工点的位置。

(2) 坐标进给 根据偏差值 大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。

(3) 偏差计算 根据递推公式算出新加工点的偏差值。

(4) 终点判别 用来确定加工点是否到达终点。

若已到达，则应发出停机或转换新程序段信号。一 般用 x 和 y 坐标所要走的总步数 J 来判别。令 J= ，每走一步则 J 减 1 ，直至 J=0 。

例 3-1 设要加工直线为 0A ( 见图 3 — 2) ，其终点坐标为 A(5 ，3) ，则终点计数值 J= =5+3=8 ，

   加工过程的运算节拍如表 3 — 1 所示。

   以上讨论了象限直线插补计算方法，对其他象限的直线，可根据相同原理得到其插补计算方法。表 3 — 2 列出了各象限直线 L1 、 L2 、 L3 、 L4 进给方向及偏差计算公式，其中偏差计算公式中的 、 均为值。图 3 — 3 所示为象限逐点比较法直线插补的程序框图。

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